II. Applications du modèle fractal dans la nature

    
        La géométrie fractale n’est pas qu’une théorie abstraite. En effet, les fractales se sont révélées adaptées à la représentation d’objets naturels complexes. Dans la nature nous pouvons trouver des exemples de géométrie fractale. Nous étudierons par exemple les fougères, complétées par une étude sur le chou romanesco ainsi que le système pulmonaire.

1. Le cas de la fougère

a.  modélisation

        En premier lieu nous modélisons la fougère à l'aide du procédé de réitération du  logiciel Cabrigéomètre . Voici l’illustration :

                                         
       Ainsi , le résultat final prend la forme d'une fougère. D’ou, nous pouvons supposer que la fougère est un modèle fractal . A l'aide d’un logiciel plus performant, nous observons une seconde modélisation:

                                

         Un espèce de fougère particulière, dont on voit la photo ci-dessus, est reconnue comme un bon exemple de fractale naturelle. En effet, comme nous le montre l'animation de gauche, sur la branche principale se forment des répliques de cette dernière. Puis, en changeant d'échelle, on observe plusieurs répliques qui se réitèrent. Ainsi, nous pouvons conclure que cette espèce de fougère est  une fractale du vivant, possédant cette propriété d' auto similarité à différentes échelles.
Vérification avec la fougère naturelle:
<  ACTIVITE 1 voir dans la rubrique "expériences"

b . Lien entre fractales et échanges dans le milieu

      Nous pouvons en conséquence nous demander si cette forme fractale a une quelconque utilité dans le milieu naturel. Pour y répondre, il faut rappeler que la fougère, pour vivre, réalise la photosynthèse. Il s’agit rappelons-le du  processus bioénergétique qui permet aux plantes de synthétiser de la matière organique en exploitant la lumière du soleil et en utilisant le dioxyde de carbone de l’air, l’eau et les minéraux du sol.

• La forme fractale aurait-elle une influence sur les échanges photosynthétiques des fougères ? Augmenterait-elle les échanges gazeux, le rejet de dioxygène par exemple ? 

Hypothèse : Nous supposons que les fougères permettent un rejet plus important en oxygène du fait de sa fragmentation régulière de ses frondes. 

    Pour la vérifier, nous avons eu l'idée d'une expérience où l'on comparerais le rejet de dioxygène pour une fougère fractale et « non fractale ».
-->voir dans la rubrique "expériences"

Conclusion : Après cette expérience, nous pouvons affirmer que la forme fractale apparait comme un avantage pour une fougère. Ainsi, cette forme fractale augmente l'efficacité de la réaction de photosynthèse, l'avantage biologique est donc la plus grande quantité de nutriments synthétisés.  

• En quoi la forme fractale rend-elle la photosynthèse plus efficace ? 

      Grâce à la définition des fractales et leurs propriétés étudiées dans le premier axe, on sait que les itérations se font à l'infini tandis que les fractales possèdent une aire et un périmètre infini. Cependant, il faut tenir compte des limites de la nature.
 Hypothèse: La forme fractale augmente le périmètre par fragmentation et donc apporte un réel avantage pour les échanges des plantes avec l'extérieur. 

  Nous avons étudié la localisation des stomates au sein de la fougère . 
-->voir dans la rubrique "expériences"

   Conclusion : Après cette expérience ,nous avons observé une présence des stomates au niveau des extrémités de la plante. Ayant théoriquement un périmétre « infini », La fougère fractale est plus fragmentée et cela explique le rejet plus important en dioxygéne. Ainsi , nous pouvons conclure que la fractalité permet la « création » d’un nombre de stomates plus important et présente un atout pour la fougère qui présente cette particularité géométrique  . 

                                                          

ACTIVITE 3

   Au cours de notre expérience , nous avons conclu que la fougère échange plus avec le milieu car elle  possède une aire finie et un périmètre infini. Pour le prouver , nous devons effectuer le calcul de la dimension fractale .

•   Quelle est la dimension fractale de la fougère ?

    Nous avons pris des feuilles de fougére et mesuré la longueur des feuilles a chaque niveau d’observation . Nous avons ensuite établi des moyennes.

Au niveau 1(feuille grande) ) , la moyenne est de  4,8 cm .    Au niveau 2 (feuille moyenne), la moyenne est de 1,1 cm     Calcul du coefficient de réduction 1/L = 4,8/1,1 = 4,36.     De plus, nous estimons que sur la grande feuille, on  pourrais mettre 16 feuilles de niveau 2 ( soit 8 de chaque coté) .       Donc D= ln 16/ ln 4,36= 1,88              Ainsi , la valeur de la dimension fractale est comprise entre 1 et 2 . Par conséquent , la fougére posséde une forme plus « effilée’ » dont le périmétre tend vers l’infini . (Attention ! ce calcul est trés approximatif donc contestable , toutefois , la valeur de la dimension calculée  par des scientifiques est de 1, 7  donc assez proche)

 2.fractales dans le chou romanesco : Un gain de surface ? 

   Nous nous demandons si nous pouvons transposer les propriétés de la fougère sur le chou romanesco, qui lui a une dimension comprise entre 2 et 3  . Chou hybride , c’est un autre exemple de fractale dans le vivant.
Sa forme fractale apporte-t-elle une surface d’échange plus importante avec l’extérieur ?

                                              
Afin de résumer nos recherches , nous regroupons l’étude dans une seule activité :

  



                                                       ACTIVITE 4

• En quoi le chou romanesco est-il un modèle fractal ?

     On remarque une organisation en tétraédres qui se sépare en tétraédres plus petits. La première division donne jusqu'à 8 branches secondaires. Elle se renouvelle de la même manière à chaque échelle et très régulièrement. On peut aussi retrouver cette structure si on coupe le chou romanesco.  Il présente donc une auto-similarité et peut être considérés comme un objet fractal.

                                     

     Que se passe t-il pour les échanges gazeux ?

   Une expérience mené par un groupe de lycéenne menant un tpe sur les fractales porte sur l ‘ »avantage biologique  du chou romanesco ». A l’aide du logiciel ExAO, elles ont mesuré la quantité de dioxygéne et de Co2 durant 10 minutes, pour le chou romanesco et ensuite pour le chou sans ses parties fractales .

   L’expérience a mis en évidence que,  a volume égal , l’activité photosynthétique du chou fractal est 5 fois plus élévé que le chou dénué de parties fractales . Ainsi , nous pouvons supposer que la surface d’échange du chou romanesco est plus grande , ce qui favorise les échanges gazeux et les augmente par comparaison a un chou normal .

      Comment varie la surface du tétraédre par rapport à son volume ?
 
   Pour cela , nous avons créer deux courbe : l’une sur la surface et l’une sur le volume du chou après plusieurs itérations (voir graphique plus bas). Pour cela , nous avons crée au préalable un tableau de calcul sur Excell. 

   Pour pouvoir examiner le gain de surface du chou fractal, nous l'avons assimiler à une figure géométrique : le tétraèdre, et nous le comparons à une sphère qui l'entoure. La sphère sera l'objet non-fractal sur lequel nous nous baserons pour nos comparaisons.

ACTIVITE 5
Comment évolue la surface du tétraèdre (fractal) par rapport à celle de la sphère (non fractal) ?

                                                      


On part d'un tétradèdre régulier de côté "a". Sur chacune des faces, on greffe un tétraèdre régulier de côté ( a/2)= L1. Sur chacun des 4 tétraèdres on greffe 3 tétraèdres réguliers (pas 4 tétraèdres car en dessous on a le gros tétraèdre) de côté L2=(L1/2)=(a/4).    A chaque étape, on greffe 3 tétraèdres réguliers qui ont pour côté la moitié de la longueur du côté précédents.
    


En continuant ces calculs, nous pouvons faire le tableau suivant :     
                                                

                           
   Observations : Au fur et à mesure de la croissance du tétraèdre fractal, l'augmentation du volume est de moins en moins perceptible.
Au contraire, l’aire continue d’augmenter . On constate qu'à partir de la septième étape, le tétraèdre possède plus de surface que la sphère.                                    
Ainsi, l'augmentation du volume finit par devenir négligeable. La limite du volume occupé est d'environ 212.1 cm3. La surface, elle, semble tendre vers l'infini. De plus, malgré le volume nettement supérieur de la sphère, le tétraèdre fractal a toujours une aire supérieur à celle de la sphère. Donc, le tétraèdre offre plus de surface d' échange et sera donc plus "efficace".                                                                                                                                                                                        

   Conclusion de l’activité: nous pouvons conclure qu'un objet de forme fractale possède une surface beaucoup plus importante qu'un objet comparable non fractal. Le chou romanesco est donc avantagé car, à un certain stade, il possédera une surface d'échange avec le milieu extérieur plus grande . 

  

  3. Le monde animal : modéle du poumon
   D’après les conclusions de l’activité du  chou romanesco , nous pouvons transposer le méme modèle avec le modèle des poumons (ainsi nous évitons les expériences "compliquées" dans le corps humain )

 

                                                         ACTIVITE 6

• Retrouve-ton la structure fractale dans le poumon ? 
   
  

  Observation : La trachée qui emmène l’air aux poumons descend a l’intérieur du thorax puis se divise en deux bronches principales, une pour chaque poumons. Les bronches se divisent ensuite en 23 fois pour apporter du dioxygéne jusqu’aux alvéoles pulmonaires.  Les poumons présentent donc une structure arborescente, avec une ramification des bronches et bronchioles Les ramifications sanguines pulmonaires présentent une organisation arborescente similaire a celle décrite précédemment. En grossissant l’image sur les ramifications , on observe une organisation identique a celle du réseau coronaire permettant une distribution rapide de l’oxygène dans le sang .

  On peut retrouver mathématiquement la même    organisation, elle est semblable à une des dérivées du flocon de Von Koch . En extrapolant en 3 dimensions, l'on obtient un modèle très proche de la réalité.

                                                                                                                                       
   Conclusion : Nous voyons que la structure du poumon peut, par son auto-similarité et grâce à ce modèle être caractérisée de fractale. Il est possible de modéliser mathématiquement la structure du poumon en utilisant une des variante de la courbe de Von Koch.Qualifions donc le poumon de fractale naturelle.
  
  

•  Quelle est l’utilité de ce modèle ?

.   Grâce aux calculs et à l'expériences précédente, nous pouvons réutiliser nos analyses effectuées sur    la fougère et notamment sur le chou romanesco au poumon. En effet, nous pouvons supposer que la structure fractale du poumon lui permet de décupler les échanges gazeux en multipliant la surface d'échange dans un volume restreint.
     Voici quelques chiffres: Le nombre d'alvéoles dans les deux poumons est estimé entre 200 et 750 millions d'alvéoles, ce qui correspond à une surface d'échange variant entre 55 et 200m². En imaginant des poumons assimilés à des sphères, ayant une même surface d'échange sans organisation fractale, chaque poumon aurait un diamètre compris entre 3 et 5,6 mètres.
      Il y a donc bien un impressionnant gain de surface venant de l' organisation fractale adoptée par la nature. En effet, un volume minimum permet le moins d'espace occupé tandis que l'aire maximale donne plus de surface d'échange et donc une meilleure respiration.

• La forme fractale fragiliserait-elle nos poumons ? 
   
    Cependant, nous nous sommes demandés si cette surface fractale ne fragiliserait-elle pas nos poumons. 
  Ainsi, nous formulons une hypothèse : La surface fractale optimise les échanges gazeux mais fragilise les poumons par son importante fragmentation .
  Nous savons  que les fumeurs risquent d'endommager leur système pulmonaire. Or des études ont révélé que même si on amputait un certains nombres d'alvéoles pulmonaires trop atteintes, les fumeurs peuvent toujours respirer. 
  
                                            
  
         Cette propriété peut s'expliquer par la présence des fractales d'homothétie interne dans les poumons. En effet la structure fractale permet au corps humain d'être robuste car bien qu'une partie du système soit amputée cela aura une conséquence infime.
  Par conséquent, la forme fractale ne fragilise pas les poumons mais au contraire les renforce.

 




Bilan: Ainsi les fractales présentent  de nombreux avantages. En effet elles OPTIMISENT les échanges gazeux comme nous l'avons prouvé à travers divers exemples de fractales naturelles tels que la fougère, le choux romanesco ainsi que les poumons.