I . Généralités sur fractales

   

 


1. Définition d'un objet fractal


Une fractale est une forme géométrique obtenue par fragmentation réguliére d’une figure donnée, dont la fragmentation est la méme a toutes les échelles et en tous points .

exemple : La pousssiére du Cantor

 

pythtbp

  
Vocabulaire:  

  •   initiateur : point de départ de la fractale (1)
  •   générateur : modification , ajout d’un motif sur l’initiateur (2)
  •   itération : étape de construction dans lequel on reproduit le modèle précédent (3).

 

 


2. Démonstration des propriétés fondamentales

   Nous allons démontrer trois propriétés des fractales, d'abord à l'aide de l'arbre de Pythagore, puis ensuite avec le flocon de Von Koch .  

 

  1. Les arbres de Pythagore
618px-Pythagoras_tree_1_1_13_Summer_svg.png       L'arbre de Pythagore est une fractale qui porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclôt un triangle rectangle, il s'agit d'une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.

 
Pour démontrer qu'il y a une itération à l'infini, nous allons tout d'abord définir une suite géométrique. Pour cela, nous avons simplifié les carrés par des branches, comme l'illustre le dessin ci -dessous:

                                   Flocon de Koch mm page

Une suite (Un) est une suite géométrique s'il existe un nombre q ≠ 0 tel que, pour tout réel n entier naturel, Un+1=Un x q (on obtient le terme Un+1) en multipliant le précédent Un par la raison de la suite , noté q.                                                                                                  
exemple :                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           x q        x q         x q         x q                  x q                 xq                           

 U0  --> U1  -->  U2  -->  U3 -->  U4…Un  -->  Un+1

 A l'aide de cette définition, nous pouvons dire que les arbres de Pythagore sont une suite géométrique telle que : u0=1 et q=2.

         Probléme: Lorsque n tend vers  + ∞   que deviennent les termes Un ?
Etude de la limite de cette suite géométrique :
Si U0=1 et q=2 alors 
                                        U0   x2   U1   x2   U2   x2    U3   x2    U4     etc...
                                         1           2            4               8            16 

Donc, Un est strictement croissante et Un=2^n.  
            

On en conclue que lim (2^n)=+ ∞ .                                                                                                           
                         n vers + ∞

  D'où, les itérations tendent vers l'infini. Par conséquent, les branches de Pythagore se réitèrent à l'infini. Cette propriété s’applique a toutes les fractales . Par conséquent : 

  Propriété 1: Les générateurs se réitèrent à l’infini dans les fractales. 


Nous observons à présent la structure de ces branches :

         démo 1

 
      On en déduit que les fractales à homothétie interne ont en outre une propriété particulière : chacune de leur partie reproduit leur totalité. Elles présentent ainsi un aspect tout-a-fait identique quelle que soit l'échelle . On parle d'"autosimilarité" ou plus rarement d'" invariance par dilatation" .                                     


Propriété n°2 : Les fractales présentent le principe d'autosimilarité.

 

 


 
 
b. Le flocon de Von Koch


Le flocon de Von Koch est le modèle fractal le plus historique . 
Sur chaque segment, la réitération du découpage  rappelle la forme d'un flocon de neige


                                            
Von_Koch_curve-copie-1.gif

Etapes de la construction du flocon:
 ·                     Etape 0: On prend un triangle équilatéral de côté 180mm et d'aire 14029,61154 cm².

 ·                     Etape 1: On divise chaque côté du triangle en trois segments égaux de sorte à construire un triangle équilatéral à l'extérieur. On obtient ainsi un flocon qui à 12 côtés de 60mm et d'air 18706,14872 cm².            ·               

                        Etape 2: On divise chacun des 12 côtés du flocon en trois segments égaux pour ainsi construire à nouveau un triangle extérieur. Le flocon obtenu contient donc 48 côtés de 20mm et d'air 20784,60969 cm².

On poursuit ainsi les étapes comme on le voit d’après les images.
                     
                            flocon

Nous construisons un tableau sur Excell afin de calculer  l'aire et le périmètre du flon aprés n étapes:

      dicyzrfyfc.JPG

                                 
                               
                                  aire von koch

    
L'étude met en évidence  que la valeur du  périmètre du flocon augmente rapidement alors que l'aire totale du flocon tend à se stabiliser.
Propriété 3 :
Les fractales de dimension comprise entre 1 et 2 ont un périmètre infini et une aire finie
.






                  3. la dimension fractale
 

 La dimension fractale est différente de la dimension topologique que nous utilisons habituellement. En effet, 
les dimensions sont entiéres dans la géométrie euclidienne, tandis qu’elles sont irrationnelles pour les objets fractals.

En conséquence, dans la géométrie euclidienne :

  • une série de points sur une ligne sera comprise entre 0 et 1
  • une courbe irréguliére et plane entre 1et 2
  • une surface pleinde de convolutions entre 2 et 3

 

Explication : 

 

                        fracta 2


Sachant que à chaque étape on remplace un objet par N objet identique (plus petit) et
 que 1/L est le coefficient de réduction, la formule de la dimension fractale est la suivante :

 

                                                    fyh.jpg

 



  A l'aide de cette formule, nous avons pu déterminer les dimensions fractales ci-dessous :
                          
       tableaudimensionfractale


 

Pour voir des images fractales animées , notamment celles que nous avons étudiées dans
cet axe  , voici un site trés complet :
http://pagesperso-orange.fr/fpassebon/fractales.html

 

                                                                     

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